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王烁:选择困难

文 | 王烁
 
朵拉自学概率初步,解出一道题,自豪又得意,过来考我。
 
“两个信封,只知道其中一个信封装的钱是另一个信封装的钱的两倍,但不知道哪个是哪个。你拆开一个信封发现10块钱,如果可以换成另一个信封,你换还是不换?”
 
这有何难。
 
根据已知条件,另一个信封里装的钱要么是5块要么是20块,五五开,得出期望值(expectation)是(20+5)/2=12.5块。
 
换!当然换!
 
朵拉有点不服气,问第二个问题:拆开第一个信封无论是多少钱,对换不换信封有影响吗?
 
你说呢?我反问。
 
朵拉认为不影响。她把10块换成20块算了算,发现换还是划算。
 
你的答案本身是对的,但用的方法不完美。问的是抽象的问题,你用具体的案例去答,有点对不上。
 
“怎么抽象?”
 
既然说是无论多少钱,那么你用x代表它,然后看看有什么不同?
 
朵拉明白了:第一个信封装的钱是x,第二个信封装钱的期望值是(x/2+2x)/2=5x/4。只要信封里有钱,5x/4总是大于x。无论第一个信封里有多少钱,总是应该选择换信封。
 
朵拉拿出了第三个问题,她答不上来的问题:这是不是个悖论(paradox)?
 
确实是悖论。
 
不论第一个信封打开有多少钱,都应该换第二个信封,刚才已证毕。可是,我选第一个信封本身是随机的,哪个被我先打开都完全可能。凭什么我打开它本身就使得我必须选择另外一个信封?
 
“你讲讲这是怎么回事。”朵拉终于将住了我的军。
 
答不上来怎么办?
 
老实承认,老实去学,学懂了再讲。
 
第二天,我把朵拉叫过来。
 
朵拉,你给我出的题有来头。它叫作双信悖论,是概率论中很有名的悖论。要在数学上解释清楚很不容易,但我想了个办法,不严格,但好懂。
 
“你讲。”
 
信封里的钱总是有人放进去的。假设你事先知道他放的钱最多不会超过1000块。你打开信封发现600块,你会换信封吗?
 
“不会,因为另一个信封里的钱不会是1200块,那就只能是300块。”
 
假设你事先知道他放的钱最多不超过1000块,并且从1块到1000块是随机选的,你找开信封发现100块,你会换信封吗?
 
“会。因为另一个信封里是200块的可能性大。”
 
对。我们可以这样试很多次,但不论怎么试,你换不换信封都会取决于他怎么往信封里放钱,对不对?只要你知道他怎么放钱,你就能决定换还是不换。对不对?
 
“对。”
 
但是,在一种情况下,你无法做决定。假如他往一个信封里放了无限多的钱,你换还是不换?两个无限多和一个无限多没法选。你就永远卡在这里了。
 
往信封里放无限多钱事实上不可能,但题意并没有排除掉,所以制造出悖论。
 
“有点晕。我得想一想。”
 
你慢慢想。你考了我这么多,我来考考你。
 
回到最早的问题,一个信封10块钱,另一个可能是5块,可能是20块,你换不换?
 
“不换,因为10块钱能拿到手,换的话有可能是5块。”
 
这说明你厌恶风险。
 
人分成三种,一种厌恶风险,一种喜欢风险,一种风险中立。怎么区分呢?
 
这两个信封就能区分。你愿意接受低于期望值但是确定的钱,就是厌恶风险。有人跟你相反,如果是5块或者20块的信封,他宁可放弃到手的13块也要换。
 
“为什么会这样?”
 
刚才你是担心拿到5块,他跟你相反,他更注重能拿到20块。付出高于期望值的代价的人,喜欢风险。至于那些只出12块5毛一分不多一分不少的人,就是风险中立。
 
“我觉得不一定。”
 
怎么讲?
 
“要看钱数。如果是1块钱对或者5毛或者2块,我就会选后面这个。”
 
有道理。每个人不同,每个人面对不同的情况也不同。对你来说,确定得到1块钱与确定得到10块钱不同。大家也差不多。我举个极端的例子,如果一边是1亿现金,另一边是1万块和10亿的可能性一半一半,大多数人会选现金,尽管后者的期望值是前者的5倍以上,因为对大多数人来说,有没有1亿现金,差别比有1亿还是有10亿要大得多。而且,你不能指望这种选择会经常发生,往往一辈子只有一次。大多数人在这种时候会变得非常厌恶风险,不管他们平常是什么人。
 
这种时候还能选择高期望值的人,要么是10亿对他特别重要,要么是对他来说这事不是一辈子一次,而是经常发生。这种人只能是有钱人。反过来说,越是大事,有钱人相对越有能力拥抱风险,获得较高期望值的收益。不是他们更聪明更有能力,大家都差不多,而是他们更能承受风险。
 
“你会怎么选?”
 
告诉你一个法则吧:如果是可重复的事情,那么选择期望值高的。如果是一辈子一回的,怎么选都没有错。它是人生选择,而每个人的人生属于自己。



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