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文 | 王烁
朵拉自学概率初步，解出一道题，自豪又得意，过来考我。
“两个信封，只知道其中一个信封装的钱是另一个信封装的钱的两倍，但不知道哪个是哪个。你拆开一个信封发现10块钱，如果可以换成另一个信封，你换还是不换？”
这有何难。
根据已知条件，另一个信封里装的钱要么是5块要么是20块，五五开，得出期望值（expectation)是（20+5）/2=12.5块。
换！当然换！
朵拉有点不服气，问第二个问题：拆开第一个信封无论是多少钱，对换不换信封有影响吗？
你说呢？我反问。
朵拉认为不影响。她把10块换成20块算了算，发现换还是划算。
你的答案本身是对的，但用的方法不完美。问的是抽象的问题，你用具体的案例去答，有点对不上。
“怎么抽象？”
既然说是无论多少钱，那么你用x代表它，然后看看有什么不同？
朵拉明白了：第一个信封装的钱是x，第二个信封装钱的期望值是（x/2+2x）/2=5x/4。只要信封里有钱，5x/4总是大于x。无论第一个信封里有多少钱，总是应该选择换信封。
朵拉拿出了第三个问题，她答不上来的问题：这是不是个悖论（paradox）？
确实是悖论。
不论第一个信封打开有多少钱，都应该换第二个信封，刚才已证毕。可是，我选第一个信封本身是随机的，哪个被我先打开都完全可能。凭什么我打开它本身就使得我必须选择另外一个信封？
“你讲讲这是怎么回事。”朵拉终于将住了我的军。
答不上来怎么办？
老实承认，老实去学，学懂了再讲。
第二天，我把朵拉叫过来。
朵拉，你给我出的题有来头。它叫作双信悖论，是概率论中很有名的悖论。要在数学上解释清楚很不容易，但我想了个办法，不严格，但好懂。
“你讲。”
信封里的钱总是有人放进去的。假设你事先知道他放的钱最多不会超过1000块。你打开信封发现600块，你会换信封吗？
“不会，因为另一个信封里的钱不会是1200块，那就只能是300块。”
假设你事先知道他放的钱最多不超过1000块，并且从1块到1000块是随机选的，你找开信封发现100块，你会换信封吗？
“会。因为另一个信封里是200块的可能性大。”
对。我们可以这样试很多次，但不论怎么试，你换不换信封都会取决于他怎么往信封里放钱，对不对？只要你知道他怎么放钱，你就能决定换还是不换。对不对？
“对。”
但是，在一种情况下，你无法做决定。假如他往一个信封里放了无限多的钱，你换还是不换？两个无限多和一个无限多没法选。你就永远卡在这里了。
往信封里放无限多钱事实上不可能，但题意并没有排除掉，所以制造出悖论。
“有点晕。我得想一想。”
你慢慢想。你考了我这么多，我来考考你。
回到最早的问题，一个信封10块钱，另一个可能是5块，可能是20块，你换不换？
“不换，因为10块钱能拿到手，换的话有可能是5块。”
这说明你厌恶风险。
人分成三种，一种厌恶风险，一种喜欢风险，一种风险中立。怎么区分呢？
这两个信封就能区分。你愿意接受低于期望值但是确定的钱，就是厌恶风险。有人跟你相反，如果是5块或者20块的信封，他宁可放弃到手的13块也要换。
“为什么会这样？”
刚才你是担心拿到5块，他跟你相反，他更注重能拿到20块。付出高于期望值的代价的人，喜欢风险。至于那些只出12块5毛一分不多一分不少的人，就是风险中立。
“我觉得不一定。”
怎么讲？
“要看钱数。如果是1块钱对或者5毛或者2块，我就会选后面这个。”
有道理。每个人不同，每个人面对不同的情况也不同。对你来说，确定得到1块钱与确定得到10块钱不同。大家也差不多。我举个极端的例子，如果一边是1亿现金，另一边是1万块和10亿的可能性一半一半，大多数人会选现金，尽管后者的期望值是前者的5倍以上，因为对大多数人来说，有没有1亿现金，差别比有1亿还是有10亿要大得多。而且，你不能指望这种选择会经常发生，往往一辈子只有一次。大多数人在这种时候会变得非常厌恶风险，不管他们平常是什么人。
这种时候还能选择高期望值的人，要么是10亿对他特别重要，要么是对他来说这事不是一辈子一次，而是经常发生。这种人只能是有钱人。反过来说，越是大事，有钱人相对越有能力拥抱风险，获得较高期望值的收益。不是他们更聪明更有能力，大家都差不多，而是他们更能承受风险。
“你会怎么选？”
告诉你一个法则吧：如果是可重复的事情，那么选择期望值高的。如果是一辈子一回的，怎么选都没有错。它是人生选择，而每个人的人生属于自己。
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